模拟真题 来源:湖北高考网 发布时间:2020年12月07日 21:19:28
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【变式训练1】(1)(2021·镇江调研)设函数f(x)=log2x,则在区间(0,5)上随机取一个数x,f(x)<2的概率为________.
(2)点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧的长度小于1的概率为________.
[解析](1)由log2x<2,从而02S2的概率是________.
[解析]由S1>2S2,AP>2PB,即S1>2S2的概率为.
[答案]
2.设A为圆周上一点,在圆周上等可能地任取一点与A连结,则弦长超过半径倍的概率是________.
[解析]如图所示,作等腰直角三角形AOC和CAM,B为圆上任一点,则当点B在上运动时,弦长AB>R,∴P=.
[答案]
3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是________.
[解析]如图,要使S△PBC>S△ABC,只需PB>AB.
故所求概率为P==.
[答案]
4.在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sin x+cos x≤1”发生的概率为________.
[解析]由sin x+cos x≤1,得sin≤,
由于0≤x≤π,则≤x≤π,
由几何概型概率公式得,所求概率P==.
[答案]
5.已知正三棱锥S­ABC的底面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点P,使得VP­ABC
[解析]当点P到底面ABC的距离小于时,
VP­ABC
由几何概型知,所求概率为P=1-3=.
[答案]
6.已知函数f(x)=log2x,x∈,在区间上任取一点x0,使f(x0)≥0的概率为________.
[解析]由f(x0)≥0,得log2x0≥0,∴x0≥1,
因此使f(x0)≥0的区域为[1,2],
故所求概率为P==.
[答案]
7.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,使四棱锥M­ABCD的体积小于的概率是________.
[解析]如图,正方体ABCD­A1B1C1D1.
设M­ABCD的高为h,
则×SABCD×h<,
又SABCD=1,∴h<,
即点M在正方体的下半部分,
∴所求概率P==.
[答案]
8.(2021·连云港清华园双语学校检测)若在区间(-1,1)内任取实数a,在区间(0,1)内任取实数b,则直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率为________.
[解析]直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交应满足<1,即4a>3b,在平面直角坐标系aOb中,-13b的区域为图中ODCE的内部,由E,可求得梯形ODCE的面积为,而矩形ABCD的面积为2,由几何概型可知,所求的概率为.
[答案]
二、解答题
9.如图10­6­5所示,在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q,求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率.
[解]弦长不超过1,即OQ≥.
因Q点在直径AB上是随机的,记事件A={弦长超过1}.
由几何概型的概率公式得P(A)==.
∴弦长不超过1的概率为1-P(A)=1-.
10.在区域内任取一点P,求点P落在单位圆x2+y2=1内的概率.
[解]如图所示,不等式组
表示的平面区域是△ABC的内部及其边界.
又圆x2+y2=1的圆心(0,0)到x+y-=0与x-y+=0的距离均为1,
∴直线x+y-=0与x-y+=0均与单位圆x2+y2=1相切,
记“点P落在x2+y2=1内”为事件A,
∵事件A发生时,所含区域面积S=π,且S△ABC=×2×=2,
故所求事件的概率P(A)==.
[B级能力提升练]
一、填空题
1.(2021·辽宁高考改编)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32 cm2的概率为________.
[解析]设AC=x,CB=12-x,所以x(12-x)=32,解得x=4或x=8.
所以P==.
[答案]
2.(2021·盐城中学调研)设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________.
[解析]本题为几何概型,设D为正方形OABC的面积,d为到坐标原点距离大于2的面积,则P====1-.
[答案]1-
二、解答题
3.已知向量a=(2,1),b=(x,y).
(1)若x{-1,0,1,2},y{-1,0,1},求向量ab的概率;
(2)若x[-1,2],y[-1,1],求向量a,b的夹角是钝角的概率.
[解](1)设“ab”为事件A,由ab, 得x=2y.
基本事件空间为Ω={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)},共包含12个基本事件;
其中A={(0,0),(2,1)},包含2个基本事件.
则P(A)==,即向量ab的概率为.
(2)因为x[-1,2],y[-1,1],则满足条件的所有基本事件所构成的区域(如图)为矩形ABCD,面积为S1=3×2=6.
设“a,b的夹角是钝角”为事件B,由a,b的夹角是钝角,
可得a·b<0,即2x+y<0,且x≠2y.
事件B包含的基本事件所构成的区域为图中四边形AEFD,面积S2=××2=2,
则P(B)===.
即向量a,b的夹角是钝角的概率是.
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