模拟真题 来源:湖北高考网 发布时间:2020年12月07日 21:13:51
模拟真题 微信公众号
[A级基础达标练]
一、填空题
1.(2021·南通质检)已知数列{an}满足:a1=1,an>0,a-a=1(nN*),那么使an<5成立的n的最大值________.
[解析]由a-a=1(nN*)知,数列{a}是首项为1,公差为1的等差数列,则a=1+(n-1)×1=n.
由an<5得<5,n<25,则n的最大值为24.
[答案]24
2.数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}中连续的三项,则数列{bn}的公比q=________.
[解析]设数列{an}的公差为d(d≠0),由a=a1a7得(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得a1=2d.
故数列{bn}的公比q====2.
[答案]2
3.(2021·泰州模拟)设数列{an}是首项大于零的等比数列,则“a10,当a11.{an}为递增数列;若{an}为递增数列,则q>1,a10),
若交换a,b,则b,b-d,b+d成等比数列,得(b-d)2=b(b+d),解得d=3b,a=-2b,c=4b.
==10.
若交换a,c,则d=0(舍去).
若交换b,c也可得=10,综上,=10.
[答案]10
7.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
[解析]设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an,
则an=n,由题意知n<10%,n≥4.
[答案]4
8.已知数列{an}为等差数列,公差为d,若<-1,且它的前n项和Sn有最大值,则使得Sn<0的n的最小值为________.
[解析]根据Sn有最大值知,d<0,则a10>a11,
由<-1知,a10>0>a11,
且a11<-a10即a10+a11<0,从而S19==19a10>0,
S20==10(a10+a11)<0,
则使Sn<0的n的最小值为20.
[答案]20
二、解答题
9.(2021·天津高考)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(nN*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:Sn+≤(nN*).
[解](1)设等比数列{an}的公比为q.
因为-2S2,S3,4S4成等差数列,
所以S3+2S2=4S4-S3,
即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,
于是q==-.
又因为a1=,所以等比数列{an}的通项公式为an=·n-1=(-1)n-1·.
(2)证明:Sn=1-n,Sn+=1-n+=
当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小.
所以Sn+≤S1+=.
当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,
所以Sn+≤S2+=.
故对于nN*,有Sn+≤.
10.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式;
(2)设An=,若An大于80万元,则M继续使用,否则需在第n年初对M更新.证明:需在第9年初对M更新.
[解](1)当n≤6时,数列{an}是首项为120,公差为-10的等差数列,an=120-10(n-1)=130-10n.
当n≥7时,数列{an}是以a6为首项,公比为的等比数列,又a6=70,所以an=70×n-6.
因此,第n年初,M的价值an的表达式为
an=
(2)设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n;
当n≥7时,由于S6=570,
故Sn=S6+(a7+a8+…+an)
=570+70××4×
=780-210×n-6.
An=.
因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列,
又A8==82>80,
A9==76<80,
所以需在第9年初对M更新.
===首页与分页与分页之间分隔符===
[B级能力提升练]
一、填空题
1.(2021·盐城模拟)已知{an}是公差不为0的等差数列,{bn}是等比数列,其中a1=2,b1=1,a2=b2,2a4=b3,且存在常数α,β,使得an=logαbn+β对每一个正整数n恒成立,则αβ=________.
[解析]由题意,可设an=2+(n-1)d,bn=qn-1,于是由得
d≠0,∴an=2n,bn=22n-2,
代入an=logαbn+β,即2n=(2n-2)logα2+β,
即2n(1-logα2)=β-2logα2,
解得故αβ=22=4.
[答案]4
a1a2…an的最大正整数n的值为________.
0),
则由已知得
解得
于是a1+a2+…+an==(2n-1),
a1a2…an=aq=n2.
a1a2…an
2n2-n+5 .
n2-n+5,
n2-13n+10
解得
a1a2…an.故n的最大值为12.
[答案]12
二、解答题
3.(2021·江苏高考)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足:an+1=,nN*.
(1)设bn+1=1+,nN*,求证:数列是等差数列;
(2)设bn+1=·,nN*,且{an}是等比数列,求a1和b1的值.
[解](1)证明:由题设知an+1===,
所以=,从而2-2=1(nN*),
所以数列是以1为公差的等差数列.
0,所以≤a+b
0.下证q=1.
,与(*)矛盾;
logq时,an+1=a1qn
综上,q=1,故an=a1(nN*),所以11,于是b10,
当n=1时,2a1=a1+,a1=,
当n≥2时,Sn=2an-,Sn-1=2an-1-,
两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,则=2,
数列{an}是以为首项,2为公比的等比数列,
an=a1·2n-1=×2n-1=2n-2.
(2)a=2-bn=22n-4,bn=4-2n,cn===,
Tn=+++…++,
Tn=++…++,
①-得Tn=4-8-
=4-8·-=4-4-=,
Tn=.
【反思启迪】1.求数列的通项公式时,若数列的类型不知,应先根据条件判断数列的类型,或构造等差、等比数列.
2.用错位相减法求和时,一定要把错位相减后的式子写正确,以保证结果的正确性.
【变式训练2】已知等比数列{an}的首项为1,公比q≠1,Sn为其前n项和,a1,a2,a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项.
(1)求an和Sn;
(2)设bn=log2an+1,数列的前n项和为Tn,求证:Tn
[解](1)a1,a2,a3是等差数列的第一、第二、第四项,
a3-a2=2(a2-a1),
a1q2-a1q=2(a1q-a1),
a1=1,q2-3q+2=0,
q≠1,q=2,
an=a1qn-1=2n-1,
Sn===2n-1.
(2)由(1)知an+1=2n,bn=log2an+1=log22n=n.
==.
Tn=++++…+++
=
=-
数列与函数、不等式的综合问题是近年高考的热点,常涉及数列的通项与前n项和问题,对于这种问题,在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决,要掌握常见的解决不等式的方法,以便更好地解决问题.主要考查学生的推理论证能力和分析、解决问题的能力以及转化化归的思想和数学素养.
===首页与分页与分页之间分隔符=== 【典例3】(2021·泰州调研)已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f,nN*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn;
(3)令bn=(n≥2),b1=3,Sn=b1+b2+…+bn,若Sn
[思路点拨](1)由已知得an+1与an的关系从而获解;
(2)利用等差数列的性质及裂项相消法求解第(2)、(3)问.
[规范解答](1)an+1=f==an+,
{an}是以为公差的等差数列.
又a1=1,an=n+.
(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)
=-(a2+a4+…+a2n)
=-·=-(2n2+3n).
(3)当n≥2时,bn==
=,又b1=3=,Sn=b1+b2+…+bn
===.
Sn=
又=递增,且
≥,即m≥2 014.
最小正整数m=2 014.
【反思启迪】1.本题中在求最小正整数m的值时,把问题转化为不等式恒成立问题,而Sn最值的求法使用了数列的单调性.
2.数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识点上交汇命题的特点,该类综合题的知识综合性强,能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力,因而一直成为高考命题的首选.
【变式训练3】(2021·南京开学调研)已知无穷数列{an}中,a1,a2,…,am构成首项为2,公差为-2的等差数列,am+1,am+2,…,a2m,构成首项为,公比为的等比数列,其中m≥3,mN*.
(1)当1≤n≤2m,mN*时,求数列{an}的通项公式;
(2)若对任意的nN*,都有an+2m=an成立.
当a27=时,求m的值;
记数列{an}的前n项和为Sn.判断是否存在m,使得S4m+3≥2成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
[解](1)当1≤n≤m时,由题意得an=-2n+4,
当m+1≤n≤2m时,由题意得an=n-m,
故数列{an}的通项公式为
an=
(2)-2n+4=无解,必不在等差数列内,
=6,
必在等比数列内,且等比数列部分至少有6项,则数列的一个周期至少有12项,
第27项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内,
若1≤27≤2m时,a27=27-m=,得m=21,
若2m+1≤27≤4m,则a27=a27-2m=27-3m=,得m=7,
故m的值为7或21.
S2m=-m2+3m+1-,a1+a2+a3=S3=0,
S4m+2=2S2m+a1+a2+a3=2,
记f(m)=-m2+3m+1-,则f(m+1)-f(m)=2(1-m)+,
m≥3,f(m+1)-f(m)
a1+a2+…+a10
=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)
=S10-2S2=66.
[答案]66
解答题
9.(2021·湖北高考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.
[解](1)设等比数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠0.
由题意得
即
解得
故数列{an}的通项公式为an=3×(-2)n-1.
(2)由(1)有Sn==1-(-2)n.
假设存在n,使得Sn≥2 013,则1-(-2)n≥2 013,
即(-2)n≤-2 012.
0,上式不成立;
当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,
即n≥11.
综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{nn=2k+1,kN,k≥5}.
10.(2021·山东高考)等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前n项和Sn.
[解](1)当a1=3时,不合题意;
当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;
当a1=10时,不合题意.
因此a1=2,a2=6,a3=18.
所以公比q=3,故an=2·3n-1.
(2)因为bn=an+(-1)nln an
=2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1)
=2·3n-1+(-1)n[ln 2+(n-1)ln 3]
=2·3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3,
所以Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]·(ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln 3.
所以当n为偶数时,Sn=2×+ln 3=3n+ln 3-1;
当n为奇数时,Sn=2×-(ln 2-ln 3)+ln 3
=3n-ln 3-ln 2-1,
综上所述,Sn=
[B级能力提升练]
一、填空题
1.(2021·苏中三市调研)在各项均为正数的等比数列{an}中,a2-a1=1.当a3取最小值时,数列{an}的通项公式an=________.
0,
a3===a1++2≥4,
当且仅当a1=1时等号成立,此时a2=2,
因此an=2n-1.
[答案]2n-1
2.(2021·无锡模拟)设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是________.
[解析]由题意知a3=q,a5=q2,a7=q3且q≥1,
又a4=a2+1,a6=a2+2且a2≥1,
那么有q2≥2且q3≥3.
故q≥,即q的最小值为.
[答案]
===首页与分页与分页之间分隔符=== 解答题
3.(2021·兴化安丰中学检测)已知数列{an}中,a1=3,前n和Sn=(n+1)(an+1)-1.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设数列的前n项和为Tn,是否存在实数M,使得Tn≤M对一切正整数n都成立?若存在,求M的最小值,若不存在,试说明理由.
[解](1)Sn=(n+1)(an+1)-1,
Sn+1=(n+2)(an+1+1)-1.
an+1=Sn+1-Sn
=[(n+2)(an+1+1)-(n+1)(an+1)].
整理得,nan+1=(n+1)an-1.
(n+1)an+2=(n+2)an+1-1.
(n+1)an+2-nan+1=(n+2)an+1-(n+1)an.
2(n+1)an+1=(n+1)(an+2+an).
2an+1=an+2+an.
数列{an}为等差数列.
(2)a1=3,nan+1=(n+1)an-1,a2=2a1-1=5.
a2-a1=2,即公差为2.
an=a1+(n-1)d=3+(n-1)·2=2n+1.
(3)==,
Tn=×
=.
又当nN*时,Tn
要使得Tn≤M对一切正整数n恒成立,只要M≥,
存在实数M使得Tn≤M对一切正整数n都成立,M的最小值为.
湖北高考网 微信公众号、抖音号
1239 阅读
1089 阅读
917 阅读
902 阅读
782 阅读