模拟真题 来源:湖北高考网 发布时间:2020年12月07日 21:11:28
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1.在等比数列{an}中,若a1=,a4=3,则该数列前五项的积为()
A.±3B.3
C.±1D.1
答案D
解析因为a4=a1q3,3=×q3,q=3,
所以a1a2a3a4a5=a=(a1q2)5=(×9)5=1,故选D.
2.已知数列{an}是公差为2的等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,则a2为()
A.-2B.-3
C.2D.3
答案D
解析a1=a2-2,a5=a2+6,
∴a=a1a5=(a2-2)(a2+6),解得a2=3,故选D.
3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若=,则等于()
A.2B.C.D.
答案C
解析当n=3时,==,
∴=.故选C.
4.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2)an+sin2,则该数列的前12项和为()
A.211B.212
C.126D.147
答案D
解析∵a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2)an+sin2,
∴a3=a1+1=2,a4=2a2=4,…,a2k-1=a2k-3+1,a2k=2a2k-2 (k∈N*,k≥2).
∴数列{a2k-1}成等差数列,数列{a2k}成等比数列.
∴该数列的前12项和为(a1+a3+…+a11)+(a2+a4+…+a12)=(1+2+…+6)+(2+22+…+26)=+=21+27-2=147.故选D.
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a7+a12=24,则S13等于()
A.52B.78
C.104D.208
答案C
解析由a2+a7+a12=24,得a7=8,
所以,S13==13a7=104,故选C.
6.正项等比数列{an}中的a1,a4031是函数f(x)=x3-4x2+6x-3的极值点,则loga2021等于()
A.1B.2
C.D.-1
答案A
解析∵f′(x)=x2-8x+6,∴a1·a4031=6,
∴a=6,∵a2021>0,
∴a2021=,loga2021=1.
7.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=(an-1)(n∈N*),则an等于()
A.3(3n-2n) B.3n+2
C.3nD.3·2n-1
答案C
解析由已知得,
解得
代入选项检验,只有C符合.
8.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()
A.1升B.升
C.升D.升
答案B
解析设竹子自上而下各节的容积分别为:a1,a2,…,a9,且为等差数列,根据题意得:a1+a2+a3+a4=3,
a7+a8+a9=4,即4a1+6d=3,①3a1+21d=4,②
②×4-①×3得:66d=7,解得d=,
代入①得:a1=,则a5=+(5-1)×=.
9.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n (n∈N*),则S2021等于()
A.22021-1B.21009-3
C.3×21007-3D.21008-3
答案B
解析∵a1=1,an+1·an=2n,∴a2=2,
∴当n≥2时,an·an-1=2n-1,
∴==2,
∴数列{an}中奇数项、偶数项分别成等比数列,
∴S2021=+=21009-3,故选B.
10.已知数列{an}的通项公式为an=log2 (n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-5成立的自然数n()
A.有最小值63B.有最大值63
C.有最小值31D.有最大值31
答案A
解析∵an=log2(n∈N*),
∴Sn=a1+a2+a3+…+an
=log2+log2+…+log2
=log2(××…×)=log2,
又因为Sn<-5=log2<⇒n>62,
故使Sn<-5成立的正整数n有最小值63.故选A.
===首页与分页与分页之间分隔符===
11.已知函数f(n)=n2cos(nπ),且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于()
A.0B.-100
C.100D.10200
答案B
解析∵f(n)=n2cos(nπ)
==(-1)n·n2,
∴由an=f(n)+f(n+1)=(-1)n·n2+(-1)n+1·(n+1)2=(-1)n[n2-(n+1)2]=(-1)n+1·(2n+1),
得a1+a2+a3+…+a100=3+(-5)+7+(-9)+…+199+(-201)=50×(-2)=-100.故选B.
12.设等比数列{an}的公比为q,其前n项之积为Tn,并且满足条件:a1>1,a2021a2021>1,<0.给出下列结论:
①00;③T2021的值是Tn中最大的;④使Tn>1成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为()
A.①③B.②③
C.①④D.②④
答案C
解析由<0可知:a2021<1或a2021<1.
如果a2021<1,那么a2021>1,若a2021<0,则q<0;
又因为a2021=a1q2021,所以a2021应与a1异号,
即a2021<0,这与假设矛盾,所以q>0.
若q≥1,则a2021>1且a2021>1,与推出的结论矛盾,所以01,a2021<1,所以数列从第2021项开始小于1,所以T2021最大.故③错误.
由结论①可知数列从第2021项开始小于1,而Tn=a1a2a3…an,
T4031=a1·a2·…·a4031=(a1·a4031)·(a2·a4030)·…·(a2021·a2021)·a2021<1,
所以Tn>1对应的最大自然数为4030,故④正确.
13.已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=________.
答案63
解析解方程x2-5x+4=0,得x1=1,x2=4.
因为数列{an}是递增数列,且a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,所以a1=1,a3=4.
设等比数列{an}的公比为q,则q2===4,
所以q=2.则S6===63.
14.某慢性疾病患者,因病到医院就医,医生给他开了处方药(片剂),要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药,每次一片,每片200毫克.假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%,并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8点第一次服药,则第二天上午8点服完药时,药在其体内的残留量是________毫克.若该患者坚持长期服用此药,则________明显副作用(此空填“有”或“无”).
答案350无
解析设该病人第n次服药后,药在体内的残留量为an毫克,
所以a1=200,a2=200+a1(1-50%)=300,
a3=200+a2(1-50%)=350.
由an=200+0.5an-1 (n≥2),
得an-400=0.5(an-1-400) (n≥2),
所以{an-400}是一个等比数列,
所以an-400=-200×0.5n-1<0,∴an<400.
所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用.
15.若数列{an}是正项数列,且++…+=n2+3n,则++…+=________.
答案2n2+6n
解析记Tn=++…+,
∴=Tn-Tn-1=n2+3n-[(n-1)2+3(n-1)]
=2(n+1),
∴an=4(n+1)2 (n≥2).
令n=1,∴=4a1=16,∴an=4(n+1)2,
∴=4(n+1).
∴++…+=4(2+3+…+n+1)
=4··n=2n2+6n.
16.已知各项均为正数的数列{an}满足an+1=+,a1=,Sn为数列{an}的前n项和,若对于任意的n∈N*,不等式≥2n-3恒成立,则实数k的取值范围为________.
答案k≥
解析an+1=Aan+Ban+1-=A(an-),
因此an+1-=(an-),
故{an-}是首项为3,公比为的等比数列.
因此2Sn-n=12(1-),
故不等式可化简为k≥.
因此令函数f(n)=,
令f′(n)==0,
解得2n=+3,正整数n可取2或3,
f(2)=,f(3)=.
所以k≥.
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