模拟真题 来源:湖北高考网 发布时间:2020年12月07日 21:10:46
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【典例1】(2021·天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={xx=x1+x2q+…+xnqn-1,xiM,i=1,2,…,n}.
(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.
(2)设s,tA,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,biM,i=1,2,…,n.
证明:若an1及a>0可知0,
只需证·>1,
只需证1+a-b-ab>1,
只需证a-b-ab>0即>1,即->1.
这是已知条件,所以原不等式得证.考向3反证法(高频考点)
【典例3】(1)(2021·山东高考改编)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是________.
(2)(2021·陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列.
推导{an}的前n项和公式;
设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
[思路点拨](1)“至少”的否定是“少于”.
(2)分q=1和q≠1两种情况求解.用反证法证明.
[解析](1)“已知a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”的否定为“方程x3+ax+b=0没有实根”.
[答案]方程x3+ax+b=0没有实根
(2)设{an}的前n项和为Sn,
当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;
当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,
①-得,(1-q)Sn=a1-a1qn,
Sn=,Sn=
证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的kN+,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
aq2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
a1≠0,2qk=qk-1+qk+1.
q≠0,q2-2q+1=0,
q=1,这与已知矛盾.
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【变式训练3】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.
[解](1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.
又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,两式相减得an+1=an,所以{an}是首项为1,公比为的等比数列,所以an=.
(2)反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(p
则2·=+,所以2·2r-q=2r-p+1.
又因为p
所以式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.
所以假设不成立,原命题得证.
(2021·镇江质检)设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.
(1)证明:l1与l2相交;
(2)证明:l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
[证明](1)假设l1与l2不相交,
则l1与l2平行或重合,有k1=k2,
代入k1k2+2=0,得k+2=0.
这与k1为实数的事实相矛盾.
从而k1≠k2,即l1与l2相交.
(2)由方程组
解得交点P的坐标(x,y)为
从而2x2+y2=22+2
===1,
此即表明交点P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.
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