模拟真题 来源:湖北高考网 发布时间:2020年12月07日 21:09:22
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题型一指数函数的图象和性质
例1已知函数f(x)=22x-m(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是________.
破题切入点判断函数t=2x-m的单调区间,结合函数y=2t的单调性,得m的不等式,求解即可.
答案(-∞,4]
解析令t=2x-m,则t=2x-m在区间[,+∞)上单调递增,在区间(-∞,]上单调递减.而y=2t为R上的增函数,所以要使函数f(x)=22x-m在[2,+∞)上单调递增,则有≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].故填(-∞,4].
题型二对数函数的图象和性质
例2已知f(x)=logax(a>0且a≠1),如果对于任意的x∈[,2]都有f(x)≤1成立,则a的取值范围是________.
破题切入点要对字母a进行分类讨论.
答案(0,]∪[3,+∞)
解析∵f(x)=logax,
当00,
当a>1时,f()-f(2)
=-loga-loga2
=-loga>0,
∴f()>f(2)总成立.
要使x∈[,2]时恒有f(x)≤1,
只需f()≤1,即-1≤loga≤1,
即logaa-1≤loga≤logaa,
亦当a>1时,得a-1≤≤a,即a≥3;
当00且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有________.
答案01时,不论上下怎样平移,图象必过第一象限.
∵y=ax+b-1的图象经过第二、三、四象限,
∴只可能0b>c
解析因为a=log36=1+log32=1+,b=log510=1+log52=1+,c=log714=1+log72=1+,显然a>b>c.
3.若函数f(x)=logax(00
解析当x>0时,f(x)=()x-log3x是减函数,
又x0是方程f(x)=0的根,即f(x0)=0.
∴当0f(x0)=0.
10.(2021·南京模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”:x*y=ln(ex+ey),x,y∈R.当x*x=y时,x=.对任意实数a,b,c,给出如下命题:
①a*b=b*a;
②(a*b)+c=(a+c)*(b+c);
③(a*b)-c=(a-c)*(b-c);
④(a*b)*c=a*(b*c);
⑤≥.
其中正确的命题有________.(写出所有正确的命题序号)
答案①②③④⑤
解析因为a*b=ln(ea+eb),b*a=ln(eb+ea),
所以a*b=b*a,即①对;
因为(a*b)+c=ln(ea+eb)+c=ln[(ea+eb)ec]
=ln(ea+c+eb+c)=(a+c)*(b+c),所以②对;
只需令②中的c为-c,即有结论(a*b)-c=(a-c)*(b-c),所以③对;
因为(a*b)*c=[ln(ea+eb)]*c=ln[+ec]
=ln(ea+eb+ec),
a*(b*c)=a*[ln(eb+ec)]=ln[ea+]
=ln(ea+eb+ec),
所以(a*b)*c=a*(b*c),即④对;
设=x,则x*x=a*b,
所以ln(ex+ex)=ln(ea+eb),
所以2×ex=ea+eb,
所以x=ln ,即=ln ≥ln =,故⑤对.
故正确的命题是①②③④⑤.
11.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点;
(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.
解(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,
令f(x)=0,得x=3或x=-1.
所以,函数f(x)的零点为3和-1.
(2)依题意,方程ax2+bx+b-1=0有两个不同实根.
所以,b2-4a(b-1)>0恒成立,
即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,
所以有(-4a)2-4(4a)<0⇒a2-a<0,所以00),n为正整数,a,b为常数.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y=1.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的最大值.
解(1)因为f(1)=b,由点(1,b)在x+y=1上,
可得1+b=1,即b=0.
因为f′(x)=anxn-1-a(n+1)xn,所以f′(1)=-a.
又因为切线x+y=1的斜率为-1,
所以-a=-1,即a=1.故a=1,b=0.
(2)由(1)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn+1,
f′(x)=(n+1)xn-1.
令f′(x)=0,解得x=,
在上,f′(x)>0,
故f(x)单调递增;
而在上,f′(x)<0,
故f(x)单调递减.
故f(x)在(0,+∞)上的最大值为
f=n·=.
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